PROBLEMAS

 3,Un ranchero dispone de 500m de valla para cercar dos corrales rectangulares adyacentes. ¿Cuáles habrían de ser las dimensiones para que el área encerrada fuera máxima?

5.Calcular el volumen de una caja abierta de base cuadrada y capacidad máxima que puede construirse con una pieza cuadrada de cartón de 2m de lado recortando de igual tamaño en las esquinas.

LIMITES

 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 

Las propiedades de los límites son operaciones que se pueden emplear para simplificar el cálculo del límite de una función más compleja. Al tratarse de operaciones, también se le denimina álgebra de los límites.

Límite de una constante:

 

Límite de una suma:

Límite de un producto:

Límite de un cociente:

Límite de una potencia:

Límite de una función:

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo:

Límites indeterminados: 

Son situaciones en las que al evaluar el límite de una función, se obtiene una forma matemática como 0/0 o ∞/∞. Estas expresiones no proporcionan un valor definitivo del límite sin un análisis adicional, como la aplicación de la regla de L'Hôpital.

Continuidad de una función en un punto: 

Una función es continua en un punto si el límite de la función en ese punto existe, es finito y coincide con el valor de la función en ese punto. Esto implica que no hay saltos, huecos ni discontinuidades en esa ubicación específica.

Límites infinitos:

 Son límites en los que la función crece o decrece sin límite mientras la variable se aproxima a cierto valor. Por ejemplo, lim x→a⁺ f(x) = ∞ indica que f(x) tiende a infinito conforme x se acerca a 'a' desde la derecha.

Límites al infinito:

 Se refiere a los límites donde la variable independiente se aproxima a infinito o menos infinito. Por ejemplo, lim x→∞ f(x) = L indica que la función f(x) se acerca a un límite finito L cuando x crece sin límite.

DERIVADAS

Las derivadas son un concepto fundamental en el cálculo y en las matemáticas en general. La derivada de una función mide cómo cambia el valor de la función en respuesta a un cambio en su variable independiente. En otras palabras, la derivada representa la tasa de cambio instantánea de una función en un punto específico.

Interpretación Geométrica: Geométricamente, la derivada de una función en un punto corresponde a la pendiente de la tangente a la curva de la función en ese punto. Si f(x) es una función continua y diferenciable en un intervalo, su derivada en cada punto de ese intervalo nos dice cuán inclinada es la curva en ese punto. Propiedades de las Derivadas:

1.Linealidad:

- d/dx [af(x)+bg(x)]=a d/dx f(x)+b d/dx g(x), donde a y b son constantes.

2. Regla del Producto:

- d/dx [f(x)g(x)]=f(x) g′(x)+f′(x) g(x)

3. Regla del Cociente:

- d/dx [f(x)/g(x)] = ((f’(x)g(x))- (f(x)g’(x)))/[g(x)]^2

4. Regla de la Cadena:

- Si y = f(u) y u = g(x), entonces dy/dx =(dy/du)(du/dx).

Aplicaciones de las Derivadas

1. Velocidad y Aceleración: En física, la derivada de la posición con respecto al tiempo da la velocidad, y la derivada de la velocidad con respecto al tiempo da la aceleración.

2. Optimización: En economía y otras ciencias, las derivadas se utilizan para encontrar máximos y mínimos de funciones, lo cual es útil para optimizar recursos y tomar decisiones eficientes.

3. Modelos de Crecimiento: En biología y ecología, las derivadas se usan para modelar el crecimiento de poblaciones y la propagación de enfermedades.

4. Ingeniería y Control: En ingeniería, las derivadas se emplean en el diseño de sistemas de control y en el análisis de señales.

DERIVADAS: REGLA DE LOS 4 PASOS.

La regla de los cuatro pasos es un método sistemático para encontrar la derivada de una función f(x) . A continuación, te doy una definición completa y detallada de cada paso:

1. Paso 1: Evaluar la función en x y x + h

- Toma la función f(x) y evalúa f(x) y f(x + h) , donde h es un pequeño incremento en x.

f(x) y f(x + h)

2. Paso 2: Formar el cociente incremental

- Calcula la diferencia de las evaluaciones de la función y forma el cociente incremental (también conocido como el cociente de diferencia).

f(x + h) - f(x)/h

3. Paso 3: Simplificar el cociente

- Simplifica el cociente incremental tanto como sea posible. Esto puede implicar expandir, factorizar, cancelar términos, o manipular algebraicamente la expresión.

4. Paso 4: Tomar el límite cuando h tiende a cero

- Toma el límite de la expresión simplificada cuando h se aproxima a cero para obtener la derivada de la función f(x) .

f'(x) = lim_h -> 0 f(x + h) - f(x)/

DERIVADAS SUCESIVAS.

Las derivadas sucesivas, también conocidas como derivadas de orden superior, son derivadas de una función que se obtienen aplicando el operador de derivación repetidamente. Si tienes una función f(x), su primera derivada f'(x) mide la tasa de cambio instantánea de f . La segunda derivada f''(x), es la derivada de la primera derivada f'(x), y mide la tasa de cambio de la tasa de cambio (es decir, la concavidad de la función). Este proceso puede continuar para obtener derivadas de orden superior.

Notación

- La primera derivada de f se denota como f'(x) o df/dx.

- La segunda derivada se denota como f''(x) o d^2 f/dx^2.

- La tercera derivada se denota como f'''(x) o d^3 f/dx^3.

- La n -ésima derivada se denota como (f^(n))(x) o (d^n) (f)/dx^n

DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES

Las funciones trascendentes son aquellas que no son algebraicas, es decir, no pueden ser expresadas como la raíz de un polinomio con coeficientes racionales. Ejemplos de funciones trascendentes incluyen las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Las derivadas de estas funciones juegan un papel crucial en el cálculo y el análisis matemático ejemplo con imagen (muy servible xd).

DERIVADAS DE FUNCIONES TRINONOMÉTRICAS

Las funciones trigonométricas y sus derivadas son fundamentales en el cálculo y tienen amplias aplicaciones en diversas áreas de las ciencias y la ingeniería. A continuación se presenta una descripción detallada de las derivadas de las funciones trigonométricas más comunes:

TEMAS:

Diagramas de Venn-Euler  

Los diagramas de Venn-Euler son herramientas gráficas que se utilizan para representar conjuntos y sus relaciones. En el contexto del cálculo diferencial, estos diagramas pueden ayudar a visualizar las relaciones entre diferentes funciones o rangos. Por ejemplo, podrían usarse para mostrar la intersección de dominios en los que dos funciones son diferenciables.

Ejemplo: Imagina que tienes dos funciones, ( f(x) ) y ( g(x) ), y quieres saber en qué intervalos ambas funciones son diferenciables. Puedes representar el dominio de diferenciabilidad de cada función con un círculo en un diagrama de Venn-Euler. La intersección de estos círculos representará el intervalo donde ambas funciones son diferenciables.

DESIGUALDADES

La desigualdad en cálculo diferencial es una herramienta matemática que permite establecer relaciones de comparación entre cantidades y se utiliza para delimitar los intervalos en los que una función cumple determinadas condiciones, En cálculo diferencial, las desigualdades se utilizan para describir el rango de valores que una función puede tomar y los intervalos indican dónde una función es positiva, negativa o cero.

Ejemplo:  Por ejemplo, si tienes una desigualdad como ( f(x) > 0 ), esto significa que la función ( f(x) ) es positiva en el intervalo de valores de ( x ) que satisfacen esa desigualdad.

INTERVALOS

En cálculo diferencial, los intervalos son segmentos de la recta real que se utilizan para analizar la variabilidad de una función en un determinado rango de valores de la variable independiente. 

Un intervalo se representa generalmente como [a, b], donde 'a' es el extremo inferior del intervalo y 'b' es el extremo superior. Existen diferentes tipos de intervalos en función de si los extremos están incluidos o no, como intervalos cerrados [a, b], intervalos abiertos (a, b), intervalos semiabiertos [a, b) o (a, b], y los intervalos degenerados.

Los intervalos son fundamentales en cálculo diferencial para determinar la continuidad, la existencia de límites, la derivabilidad y la integrabilidad de una función en un determinado rango de valores. También se utilizan para identificar puntos críticos, máximos y mínimos, así como para establecer la concavidad y convexidad de una curva.

Es importante comprender los conceptos de intervalos en cálculo diferencial para poder analizar y resolver problemas relacionados con la variación y el comportamiento de las funciones en diferentes rangos.

ejemplo de intervalos en cálculo diferencial:

Imaginemos que queremos representar el intervalo de valores de x que van de -3 a 2. En notación de intervalo, esto se expresaría como [-3, 2]. Esto significa que x puede tomar cualquier valor entre -3 y 2, incluyendo a -3 y 2 en el intervalo.

Otra forma de representar este intervalo es mediante la desigualdad -3≤x≤2, lo cual indica que x debe ser mayor o igual a -3 y menor o igual a 2.

NOCION DE UNA FUNCION

En cálculo diferencial, la noción de una función es fundamental para entender cómo se comporta una función en un determinado rango de valores. La función es una regla matemática que asigna a cada elemento de un conjunto (llamado dominio) exactamente un elemento de otro conjunto (llamado codominio).

Cuando hablamos de una función en cálculo diferencial, nos referimos a la relación entre las variaciones en la entrada (variable independiente) y las correspondientes variaciones en la salida (variable dependiente) de la función. La noción de una función nos permite analizar cómo cambia la función en respuesta a cambios en su variable independiente.

Es crucial comprender conceptos como la continuidad, la derivabilidad y la integrabilidad de una función para poder estudiar su comportamiento y propiedades. La noción de una función nos ayuda a determinar la existencia de límites, a calcular derivadas e integrales, y a analizar la variación de la función en un determinado rango.

Es importante destacar que la noción de una función en cálculo diferencial es la base para abordar una amplia gama de problemas matemáticos y aplicaciones en ciencia e ingeniería.

Ejemplo: concreto de la noción de una función en cálculo diferencial, consideremos la función f(x) = x^2. En este caso, la función f toma un número x y lo eleva al cuadrado. Por ejemplo, si x = 3, entonces f(3) = 3^2 = 9. Aquí, 3 es el dominio de la función y 9 es el codominio.

La noción de una función nos permite analizar cómo cambia la salida de la función en respuesta a cambios en la entrada. En el caso de f(x) = x^2, si incrementamos x en 1 unidad, la salida de la función aumentará en 2x + 1.

DOMINIO Y RANGO

El dominio y el rango son cruciales para determinar la continuidad, derivabilidad e integrabilidad de una función. El dominio nos indica los valores para los cuales la función tiene sentido matemático, mientras que el rango nos muestra los valores que la función puede alcanzar.

ejemplo, consideremos la función f(x) = √x. En este caso, el dominio de la función f es x ≥ 0, ya que no podemos tomar la raíz cuadrada de un número negativo en los números reales. El rango de esta función sería y ≥ 0, ya que la raíz cuadrada de cualquier número real no negativo siempre será no negativa.

Función creciente y decreciente. 

Una función es creciente si a medida que x aumenta, f(x) también aumenta, y es decreciente si a medida que x aumenta, f(x) disminuye.

Función creciente:

A medida que aumenta el valor de x, aumenta el valor de y. La definición es la siguiente: una función es creciente en un intervalo si se cumple que:

Función decreciente:

A medida que aumenta el valor de x, disminuye el valor de y. La definición es la siguiente: una función es decreciente en un intervalo si se cumple que:

¿Cómo saber si una función es creciente o decreciente?

Una función   es estrictamente creciente en el intervalo   si   para todos los valores de   en  .

Una función f(x) es estrictamente creciente en el intervalo (a,b) si f'(x)=0 para todos los valores  de x en (a,b).

Una función   es estrictamente decreciente en el intervalo   si   para todos los valores de   en  .

Una función f(x) es estrictamente decreciente en el intervalo (a,b) si f'(x)¡0 para todos los valores de x en (a,b).

Operaciones con funciones.

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre funciones son posibles y semejantes a las correspondientes efectuadas con los números.

Sean f y 𝑔 dos funciones con dominios 𝐷𝑓 y G𝑔 respectivamente

Suma de funciones:

Resta de funciones:

Producto de funciones:

Cociente de funciones:

MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

Los valores máximos de una función son los valores más altos de esta, mientras que los valores mínimos, como lo dice su nombre, se refiere a los valores más pequeños que dicha función puede tomar; ya sea en un intervalo determinado o de menos infinito a infinito.

Máximos relativos:

Si  f es una función derivable en *a  € Dom(f), entonces  es un máximo relativo o local si:

Se obtiene la derivada de la función. 

Se iguala la derivada a cero para luego resolver la ecuación y así encontrar los valores de x, dichos valores son llamados valores críticos.

 Se saca la segunda derivada de la función y se evalúa la función con los valores críticos previamente obtenidos. 

Si el resultado es menor a cero entonces tenemos un punto máximo y si es mayor a cero entonces es un punto mínimo.

Los valores críticos se evalúan en la función original para obtener el valor de "y", así determinamos las coordenadas de dichos puntos.

¿QUÉ ES EL CALCULO DIFERENCIAL?

El cálculo diferencial es una rama de las matemáticas que se centra en el estudio de las tasas de cambio instantáneas y las propiedades de las funciones. En términos simples, el cálculo diferencial se ocupa de analizar cómo cambian las funciones a medida que sus variables independientes se modifican de manera infinitesimal.

Una de las ideas fundamentales en el cálculo diferencial es el concepto de derivada, que representa la tasa de variación de una función en un punto dado. Las derivadas nos permiten calcular pendientes de curvas, velocidades instantáneas, tasas de crecimiento y mucho más. El cálculo diferencial es esencial en campos como la física, la economía, la ingeniería y muchas otras disciplinas, ya que proporciona herramientas para modelar y comprender fenómenos que cambian de manera continua.

En resumen, el cálculo diferencial es una poderosa herramienta matemática que nos ayuda a entender cómo se comportan las funciones en un nivel muy detallado.

CRADORES DEL CALCULO DIFERENCIAL

El cálculo diferencial fue desarrollado de manera independiente por dos genios matemáticos: Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Newton, un físico y matemático inglés, y Leibniz, un matemático y filósofo alemán, son reconocidos como los creadores del cálculo diferencial en el siglo XVII. Ambos contribuyeron significativamente a la formulación de las bases y conceptos fundamentales de esta disciplina matemática, que revolucionó la manera en que comprendemos el cambio y la variación en las funciones matemáticas.

Imagen de Isaac Newton y Gottfried Leibniz, creadores del cálculo diferencial*

Ambos genios matemáticos realizaron contribuciones significativas en el desarrollo del cálculo diferencial en el siglo XVII. Sus aportes revolucionaron la forma en que comprendemos el cambio y la variación en las funciones matemáticas.

Veamos algunos temas del calculo diferencial.