TEMAS:

Diagramas de Venn-Euler  

Los diagramas de Venn-Euler son herramientas gráficas que se utilizan para representar conjuntos y sus relaciones. En el contexto del cálculo diferencial, estos diagramas pueden ayudar a visualizar las relaciones entre diferentes funciones o rangos. Por ejemplo, podrían usarse para mostrar la intersección de dominios en los que dos funciones son diferenciables.

Ejemplo: Imagina que tienes dos funciones, ( f(x) ) y ( g(x) ), y quieres saber en qué intervalos ambas funciones son diferenciables. Puedes representar el dominio de diferenciabilidad de cada función con un círculo en un diagrama de Venn-Euler. La intersección de estos círculos representará el intervalo donde ambas funciones son diferenciables.

DESIGUALDADES

La desigualdad en cálculo diferencial es una herramienta matemática que permite establecer relaciones de comparación entre cantidades y se utiliza para delimitar los intervalos en los que una función cumple determinadas condiciones, En cálculo diferencial, las desigualdades se utilizan para describir el rango de valores que una función puede tomar y los intervalos indican dónde una función es positiva, negativa o cero.

Ejemplo:  Por ejemplo, si tienes una desigualdad como ( f(x) > 0 ), esto significa que la función ( f(x) ) es positiva en el intervalo de valores de ( x ) que satisfacen esa desigualdad.

INTERVALOS

En cálculo diferencial, los intervalos son segmentos de la recta real que se utilizan para analizar la variabilidad de una función en un determinado rango de valores de la variable independiente. 

Un intervalo se representa generalmente como [a, b], donde 'a' es el extremo inferior del intervalo y 'b' es el extremo superior. Existen diferentes tipos de intervalos en función de si los extremos están incluidos o no, como intervalos cerrados [a, b], intervalos abiertos (a, b), intervalos semiabiertos [a, b) o (a, b], y los intervalos degenerados.

Los intervalos son fundamentales en cálculo diferencial para determinar la continuidad, la existencia de límites, la derivabilidad y la integrabilidad de una función en un determinado rango de valores. También se utilizan para identificar puntos críticos, máximos y mínimos, así como para establecer la concavidad y convexidad de una curva.

Es importante comprender los conceptos de intervalos en cálculo diferencial para poder analizar y resolver problemas relacionados con la variación y el comportamiento de las funciones en diferentes rangos.

ejemplo de intervalos en cálculo diferencial:

Imaginemos que queremos representar el intervalo de valores de x que van de -3 a 2. En notación de intervalo, esto se expresaría como [-3, 2]. Esto significa que x puede tomar cualquier valor entre -3 y 2, incluyendo a -3 y 2 en el intervalo.

Otra forma de representar este intervalo es mediante la desigualdad -3≤x≤2, lo cual indica que x debe ser mayor o igual a -3 y menor o igual a 2.

NOCION DE UNA FUNCION

En cálculo diferencial, la noción de una función es fundamental para entender cómo se comporta una función en un determinado rango de valores. La función es una regla matemática que asigna a cada elemento de un conjunto (llamado dominio) exactamente un elemento de otro conjunto (llamado codominio).

Cuando hablamos de una función en cálculo diferencial, nos referimos a la relación entre las variaciones en la entrada (variable independiente) y las correspondientes variaciones en la salida (variable dependiente) de la función. La noción de una función nos permite analizar cómo cambia la función en respuesta a cambios en su variable independiente.

Es crucial comprender conceptos como la continuidad, la derivabilidad y la integrabilidad de una función para poder estudiar su comportamiento y propiedades. La noción de una función nos ayuda a determinar la existencia de límites, a calcular derivadas e integrales, y a analizar la variación de la función en un determinado rango.

Es importante destacar que la noción de una función en cálculo diferencial es la base para abordar una amplia gama de problemas matemáticos y aplicaciones en ciencia e ingeniería.

Ejemplo: concreto de la noción de una función en cálculo diferencial, consideremos la función f(x) = x^2. En este caso, la función f toma un número x y lo eleva al cuadrado. Por ejemplo, si x = 3, entonces f(3) = 3^2 = 9. Aquí, 3 es el dominio de la función y 9 es el codominio.

La noción de una función nos permite analizar cómo cambia la salida de la función en respuesta a cambios en la entrada. En el caso de f(x) = x^2, si incrementamos x en 1 unidad, la salida de la función aumentará en 2x + 1.

DOMINIO Y RANGO

El dominio y el rango son cruciales para determinar la continuidad, derivabilidad e integrabilidad de una función. El dominio nos indica los valores para los cuales la función tiene sentido matemático, mientras que el rango nos muestra los valores que la función puede alcanzar.

ejemplo, consideremos la función f(x) = √x. En este caso, el dominio de la función f es x ≥ 0, ya que no podemos tomar la raíz cuadrada de un número negativo en los números reales. El rango de esta función sería y ≥ 0, ya que la raíz cuadrada de cualquier número real no negativo siempre será no negativa.

Función creciente y decreciente. 

Una función es creciente si a medida que x aumenta, f(x) también aumenta, y es decreciente si a medida que x aumenta, f(x) disminuye.

Función creciente:

A medida que aumenta el valor de x, aumenta el valor de y. La definición es la siguiente: una función es creciente en un intervalo si se cumple que:

Función decreciente:

A medida que aumenta el valor de x, disminuye el valor de y. La definición es la siguiente: una función es decreciente en un intervalo si se cumple que:

¿Cómo saber si una función es creciente o decreciente?

Una función   es estrictamente creciente en el intervalo   si   para todos los valores de   en  .

Una función f(x) es estrictamente creciente en el intervalo (a,b) si f'(x)=0 para todos los valores  de x en (a,b).

Una función   es estrictamente decreciente en el intervalo   si   para todos los valores de   en  .

Una función f(x) es estrictamente decreciente en el intervalo (a,b) si f'(x)¡0 para todos los valores de x en (a,b).

Operaciones con funciones.

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre funciones son posibles y semejantes a las correspondientes efectuadas con los números.

Sean f y 𝑔 dos funciones con dominios 𝐷𝑓 y G𝑔 respectivamente

Suma de funciones:

Resta de funciones:

Producto de funciones:

Cociente de funciones:

MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

Los valores máximos de una función son los valores más altos de esta, mientras que los valores mínimos, como lo dice su nombre, se refiere a los valores más pequeños que dicha función puede tomar; ya sea en un intervalo determinado o de menos infinito a infinito.

Máximos relativos:

Si  f es una función derivable en *a  € Dom(f), entonces  es un máximo relativo o local si:

Se obtiene la derivada de la función. 

Se iguala la derivada a cero para luego resolver la ecuación y así encontrar los valores de x, dichos valores son llamados valores críticos.

 Se saca la segunda derivada de la función y se evalúa la función con los valores críticos previamente obtenidos. 

Si el resultado es menor a cero entonces tenemos un punto máximo y si es mayor a cero entonces es un punto mínimo.

Los valores críticos se evalúan en la función original para obtener el valor de "y", así determinamos las coordenadas de dichos puntos.