DERIVADAS

Las derivadas son un concepto fundamental en el cálculo y en las matemáticas en general. La derivada de una función mide cómo cambia el valor de la función en respuesta a un cambio en su variable independiente. En otras palabras, la derivada representa la tasa de cambio instantánea de una función en un punto específico.

Interpretación Geométrica: Geométricamente, la derivada de una función en un punto corresponde a la pendiente de la tangente a la curva de la función en ese punto. Si f(x) es una función continua y diferenciable en un intervalo, su derivada en cada punto de ese intervalo nos dice cuán inclinada es la curva en ese punto. Propiedades de las Derivadas:

1.Linealidad:

- d/dx [af(x)+bg(x)]=a d/dx f(x)+b d/dx g(x), donde a y b son constantes.

2. Regla del Producto:

- d/dx [f(x)g(x)]=f(x) g′(x)+f′(x) g(x)

3. Regla del Cociente:

- d/dx [f(x)/g(x)] = ((f’(x)g(x))- (f(x)g’(x)))/[g(x)]^2

4. Regla de la Cadena:

- Si y = f(u) y u = g(x), entonces dy/dx =(dy/du)(du/dx).

Aplicaciones de las Derivadas

1. Velocidad y Aceleración: En física, la derivada de la posición con respecto al tiempo da la velocidad, y la derivada de la velocidad con respecto al tiempo da la aceleración.

2. Optimización: En economía y otras ciencias, las derivadas se utilizan para encontrar máximos y mínimos de funciones, lo cual es útil para optimizar recursos y tomar decisiones eficientes.

3. Modelos de Crecimiento: En biología y ecología, las derivadas se usan para modelar el crecimiento de poblaciones y la propagación de enfermedades.

4. Ingeniería y Control: En ingeniería, las derivadas se emplean en el diseño de sistemas de control y en el análisis de señales.

DERIVADAS: REGLA DE LOS 4 PASOS.

La regla de los cuatro pasos es un método sistemático para encontrar la derivada de una función f(x) . A continuación, te doy una definición completa y detallada de cada paso:

1. Paso 1: Evaluar la función en x y x + h

- Toma la función f(x) y evalúa f(x) y f(x + h) , donde h es un pequeño incremento en x.

f(x) y f(x + h)

2. Paso 2: Formar el cociente incremental

- Calcula la diferencia de las evaluaciones de la función y forma el cociente incremental (también conocido como el cociente de diferencia).

f(x + h) - f(x)/h

3. Paso 3: Simplificar el cociente

- Simplifica el cociente incremental tanto como sea posible. Esto puede implicar expandir, factorizar, cancelar términos, o manipular algebraicamente la expresión.

4. Paso 4: Tomar el límite cuando h tiende a cero

- Toma el límite de la expresión simplificada cuando h se aproxima a cero para obtener la derivada de la función f(x) .

f'(x) = lim_h -> 0 f(x + h) - f(x)/

DERIVADAS SUCESIVAS.

Las derivadas sucesivas, también conocidas como derivadas de orden superior, son derivadas de una función que se obtienen aplicando el operador de derivación repetidamente. Si tienes una función f(x), su primera derivada f'(x) mide la tasa de cambio instantánea de f . La segunda derivada f''(x), es la derivada de la primera derivada f'(x), y mide la tasa de cambio de la tasa de cambio (es decir, la concavidad de la función). Este proceso puede continuar para obtener derivadas de orden superior.

Notación

- La primera derivada de f se denota como f'(x) o df/dx.

- La segunda derivada se denota como f''(x) o d^2 f/dx^2.

- La tercera derivada se denota como f'''(x) o d^3 f/dx^3.

- La n -ésima derivada se denota como (f^(n))(x) o (d^n) (f)/dx^n

DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES

Las funciones trascendentes son aquellas que no son algebraicas, es decir, no pueden ser expresadas como la raíz de un polinomio con coeficientes racionales. Ejemplos de funciones trascendentes incluyen las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Las derivadas de estas funciones juegan un papel crucial en el cálculo y el análisis matemático ejemplo con imagen (muy servible xd).

DERIVADAS DE FUNCIONES TRINONOMÉTRICAS

Las funciones trigonométricas y sus derivadas son fundamentales en el cálculo y tienen amplias aplicaciones en diversas áreas de las ciencias y la ingeniería. A continuación se presenta una descripción detallada de las derivadas de las funciones trigonométricas más comunes: