3,Un ranchero dispone de 500m de valla para cercar dos corrales rectangulares adyacentes. ¿Cuáles habrían de ser las dimensiones para que el área encerrada fuera máxima?
domingo, 16 de junio de 2024
PROBLEMAS
LIMITES
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Las propiedades de los límites son operaciones que se pueden emplear para simplificar el cálculo del límite de una función más compleja. Al tratarse de operaciones, también se le denimina álgebra de los límites.
Límite de una constante:
Límite de una suma:
Límite de un producto:
Límite de un cociente:
Límite de una potencia:
Límite de una función:
g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.
Límite de una raíz
Límite de un logaritmo:
Límites indeterminados:
Límites infinitos:
Límites al infinito:
DERIVADAS
Las derivadas son un concepto fundamental en el cálculo y en las matemáticas en general. La derivada de una función mide cómo cambia el valor de la función en respuesta a un cambio en su variable independiente. En otras palabras, la derivada representa la tasa de cambio instantánea de una función en un punto específico.
Interpretación Geométrica: Geométricamente, la derivada de una función en un punto corresponde a la pendiente de la tangente a la curva de la función en ese punto. Si f(x) es una función continua y diferenciable en un intervalo, su derivada en cada punto de ese intervalo nos dice cuán inclinada es la curva en ese punto. Propiedades de las Derivadas:
1.Linealidad:
- d/dx [af(x)+bg(x)]=a d/dx f(x)+b d/dx g(x), donde a y b son constantes.
2. Regla del Producto:
- d/dx [f(x)g(x)]=f(x) g′(x)+f′(x) g(x)
3. Regla del Cociente:
- d/dx [f(x)/g(x)] = ((f’(x)g(x))- (f(x)g’(x)))/[g(x)]^2
4. Regla de la Cadena:
- Si y = f(u) y u = g(x), entonces dy/dx =(dy/du)(du/dx).
Aplicaciones de las Derivadas
1. Velocidad y Aceleración: En física, la derivada de la posición con respecto al tiempo da la velocidad, y la derivada de la velocidad con respecto al tiempo da la aceleración.
2. Optimización: En economía y otras ciencias, las derivadas se utilizan para encontrar máximos y mínimos de funciones, lo cual es útil para optimizar recursos y tomar decisiones eficientes.
3. Modelos de Crecimiento: En biología y ecología, las derivadas se usan para modelar el crecimiento de poblaciones y la propagación de enfermedades.
4. Ingeniería y Control: En ingeniería, las derivadas se emplean en el diseño de sistemas de control y en el análisis de señales.
DERIVADAS: REGLA DE LOS 4 PASOS.
La regla de los cuatro pasos es un método sistemático para encontrar la derivada de una función f(x) . A continuación, te doy una definición completa y detallada de cada paso:
1. Paso 1: Evaluar la función en x y x + h
- Toma la función f(x) y evalúa f(x) y f(x + h) , donde h es un pequeño incremento en x.
f(x) y f(x + h)
2. Paso 2: Formar el cociente incremental
- Calcula la diferencia de las evaluaciones de la función y forma el cociente incremental (también conocido como el cociente de diferencia).
f(x + h) - f(x)/h
3. Paso 3: Simplificar el cociente
- Simplifica el cociente incremental tanto como sea posible. Esto puede implicar expandir, factorizar, cancelar términos, o manipular algebraicamente la expresión.
4. Paso 4: Tomar el límite cuando h tiende a cero
- Toma el límite de la expresión simplificada cuando h se aproxima a cero para obtener la derivada de la función f(x) .
f'(x) = lim_h -> 0 f(x + h) - f(x)/
DERIVADAS SUCESIVAS.
Las derivadas sucesivas, también conocidas como derivadas de orden superior, son derivadas de una función que se obtienen aplicando el operador de derivación repetidamente. Si tienes una función f(x), su primera derivada f'(x) mide la tasa de cambio instantánea de f . La segunda derivada f''(x), es la derivada de la primera derivada f'(x), y mide la tasa de cambio de la tasa de cambio (es decir, la concavidad de la función). Este proceso puede continuar para obtener derivadas de orden superior.
Notación
- La primera derivada de f se denota como f'(x) o df/dx.
- La segunda derivada se denota como f''(x) o d^2 f/dx^2.
- La tercera derivada se denota como f'''(x) o d^3 f/dx^3.
- La n -ésima derivada se denota como (f^(n))(x) o (d^n) (f)/dx^n
DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES
Las funciones trascendentes son aquellas que no son algebraicas, es decir, no pueden ser expresadas como la raíz de un polinomio con coeficientes racionales. Ejemplos de funciones trascendentes incluyen las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Las derivadas de estas funciones juegan un papel crucial en el cálculo y el análisis matemático ejemplo con imagen (muy servible xd).
DERIVADAS DE FUNCIONES TRINONOMÉTRICAS
Las funciones trigonométricas y sus derivadas son fundamentales en el cálculo y tienen amplias aplicaciones en diversas áreas de las ciencias y la ingeniería. A continuación se presenta una descripción detallada de las derivadas de las funciones trigonométricas más comunes:
TEMAS:
Diagramas de Venn-Euler
Los diagramas de Venn-Euler son herramientas gráficas que se utilizan para representar conjuntos y sus relaciones. En el contexto del cálculo diferencial, estos diagramas pueden ayudar a visualizar las relaciones entre diferentes funciones o rangos. Por ejemplo, podrían usarse para mostrar la intersección de dominios en los que dos funciones son diferenciables.
Ejemplo: Imagina que tienes dos funciones, ( f(x) ) y ( g(x) ), y quieres saber en qué intervalos ambas funciones son diferenciables. Puedes representar el dominio de diferenciabilidad de cada función con un círculo en un diagrama de Venn-Euler. La intersección de estos círculos representará el intervalo donde ambas funciones son diferenciables.
DESIGUALDADES
INTERVALOS
NOCION DE UNA FUNCION
DOMINIO Y RANGO
Función creciente y decreciente.
Operaciones con funciones.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
¿QUÉ ES EL CALCULO DIFERENCIAL?
El cálculo diferencial es una rama de las matemáticas que se centra en el estudio de las tasas de cambio instantáneas y las propiedades de las funciones. En términos simples, el cálculo diferencial se ocupa de analizar cómo cambian las funciones a medida que sus variables independientes se modifican de manera infinitesimal.
Una de las ideas fundamentales en el cálculo diferencial es el concepto de derivada, que representa la tasa de variación de una función en un punto dado. Las derivadas nos permiten calcular pendientes de curvas, velocidades instantáneas, tasas de crecimiento y mucho más. El cálculo diferencial es esencial en campos como la física, la economía, la ingeniería y muchas otras disciplinas, ya que proporciona herramientas para modelar y comprender fenómenos que cambian de manera continua.
En resumen, el cálculo diferencial es una poderosa herramienta matemática que nos ayuda a entender cómo se comportan las funciones en un nivel muy detallado.
CRADORES DEL CALCULO DIFERENCIAL
El cálculo diferencial fue desarrollado de manera independiente por dos genios matemáticos: Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Newton, un físico y matemático inglés, y Leibniz, un matemático y filósofo alemán, son reconocidos como los creadores del cálculo diferencial en el siglo XVII. Ambos contribuyeron significativamente a la formulación de las bases y conceptos fundamentales de esta disciplina matemática, que revolucionó la manera en que comprendemos el cambio y la variación en las funciones matemáticas.
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